Question

在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中m＞0，y₁＞0，y₂＜0．
（1）设动点P满足PF²-PB²=4，求点P的轨迹；
（2）设，求点T的坐标；
（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

Answer

（1）设点P（x，y），由两点距离公式将PF2-PB2=4，变成坐标表示式，整理即得点P的轨迹方程．
（2）将分别代入椭圆方程，解出点M与点N的坐标由两点式写出直线AM与直线BN的方程联立解出交点T的坐标．（3）方法一求出直线方程的参数表达式，然后求出其与x的交点的坐标，得到其横坐标为一个常数，从而说明直线过x轴上的定点．
方法二根据特殊情况即直线与x轴垂直时的情况求出定点，然后证明不垂直于x轴时两线DM与DN斜率相等，说明直线MN过该定点．
【解析】
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）．
由PF2-PB2=4，得（x-2）2+y2-[（x-3）2+y2]=4，化简得．
故所求点P的轨迹为直线．
（2）将分别代入椭圆方程，以及y1＞0，y2＜0，
得M（2，）、N（，）
直线MTA方程为：，即，
直线NTB方程为：，即．
联立方程组，解得：，
所以点T的坐标为．

（3）点T的坐标为（9，m）
直线MTA方程为：，即，
直线NTB方程为：，即．
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x1≠-3，x2≠3，
解得：、．
（方法一）当x1≠x2时，
直线MN方程为：
令y=0，解得：x=1．此时必过点D（1，0）；
当x1=x2时，直线MN方程为：x=1，与x轴交点为D（1，0）．
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．
（方法二）若x1=x2，则由及m＞0，得，
此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．
若x1≠x2，则，直线MD的斜率，
直线ND的斜率，得kMD=kND，所以直线MN过D点．
因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．