Question

已知A_n（n，a_n）为函数图象上的点，B_n（n，b_n）为函数y₂=x图象上的点，设c_n=a_n-b_n，其中n∈N^*．
（Ⅰ）求证：数列{c_n}既不是等差数列也不是等比数列；
（Ⅱ）试比较c_n与c_n+1的大小．

Answer

（Ⅰ）依题意有，可用反证法证明数列{cn}既不是等差数列也不是等比数列；
（Ⅱ）由知，利用做商法比较大小，注意判断其与1的大小关系，即可得到cn与cn+1的大小关系．
【解析】
（Ⅰ）依题意，an=．
假设{cn}是等差数列，则2c2=c1+c3，
即 ．
有，产生矛盾，
∴{cn}不是等差数列．                        …（3分）
假设{cn}是等比数列，则c22=c1•c3，即 ．
有，产生矛盾，
∴{cn}也不是等比数列．                       …（6分）
（Ⅱ）∵，
∴．            …（8分）
又∵，0＜n＜n+1，
∴．            …（10分）
∴．
∴，cn+1＜cn．                  …（12分）