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已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,若E为棱CC1的中点. (Ⅰ)...

已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,若E为棱CC1的中点.
(Ⅰ)求证:A1E⊥BD;
(Ⅱ)求二面角A1-BD-E的大小;
(Ⅲ)求四面体A1-BDE的体积.

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(I)连接AC,设AC∩DB=O,连接A1O,OE,由正方体的几何特征可得AC为A1E在底面ABCD内的射影,进而由三垂线定理可得A1E⊥BD; (Ⅱ)由正方体的几何特征可得三角形A1BD为等边三角形,则BD⊥A1O,又BD⊥A1E,由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面A1OE,则∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角,解三角形A1OE,即可求出二面角A1-BD-E的大小; (Ⅲ)由平面A1BD垂直于平面BDE,且A1O⊥BD,由面面垂直的性质,可得A1O⊥平面BDE,即四面体A1-BDE是以三角形BDE为底面,以A1O为高的棱锥,代入棱锥体积公式,即可得到答案. 【解析】 (Ⅰ)证明:连接AC, 设AC∩DB=O,连接A1O,OE, ∵点E在棱CC1上, ∴AC为A1E在底面ABCD内的射影. 由AC⊥BD, 根据三垂线定理, ∴A1E⊥BD.                                         …(3分) (Ⅱ)在等边三角形A1BD中,BD⊥A1O,又BD⊥A1E,A1O⊂平面A1OE,A1E⊂平面A1OE,A1O∩A1E=A1, ∴BD⊥平面A1OE. 于是BD⊥OE, ∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角.              …(7分) ∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a,E为棱CC1的中点, 由平面几何知识,得, 满足A1E2=A1O2+EO2, ∴∠A1OE=90°.                                    …(9分) (Ⅲ)由平面A1BD垂直于平面BDE,且A1O⊥BD, ∴A1O⊥平面BDE.…(12分) ===.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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