Question

已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2a，若E为棱CC₁的中点．
（Ⅰ）求证：A₁E⊥BD；
（Ⅱ）求二面角A₁-BD-E的大小；
（Ⅲ）求四面体A₁-BDE的体积．

Answer

（I）连接AC，设AC∩DB=O，连接A1O，OE，由正方体的几何特征可得AC为A1E在底面ABCD内的射影，进而由三垂线定理可得A1E⊥BD；
（Ⅱ）由正方体的几何特征可得三角形A1BD为等边三角形，则BD⊥A1O，又BD⊥A1E，由线面垂直的判定定理可得BD⊥平面A1OE，则∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角，解三角形A1OE，即可求出二面角A1-BD-E的大小；
（Ⅲ）由平面A1BD垂直于平面BDE，且A1O⊥BD，由面面垂直的性质，可得A1O⊥平面BDE，即四面体A1-BDE是以三角形BDE为底面，以A1O为高的棱锥，代入棱锥体积公式，即可得到答案．
【解析】
（Ⅰ）证明：连接AC，
设AC∩DB=O，连接A1O，OE，
∵点E在棱CC1上，
∴AC为A1E在底面ABCD内的射影．
由AC⊥BD，
根据三垂线定理，
∴A1E⊥BD．                                         …（3分）
（Ⅱ）在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，又BD⊥A1E，A1O⊂平面A1OE，A1E⊂平面A1OE，A1O∩A1E=A1，
∴BD⊥平面A1OE．
于是BD⊥OE，
∴∠A1OE为二面角A1-BD-E的平面角．              …（7分）
∵正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2a，E为棱CC1的中点，
由平面几何知识，得，
满足A1E2=A1O2+EO2，
∴∠A1OE=90°．                                    …（9分）
（Ⅲ）由平面A1BD垂直于平面BDE，且A1O⊥BD，
∴A1O⊥平面BDE．…（12分）
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