Question

如图所示，一轻质弹簧固定在竖直墙上，质量为m的滑块（可视为质点）放置在光滑水平面上，一表面光滑，半径为R的半圆形轨道固定在水平面上，左端与水平面平滑连接，在半圆轨道右侧有一倾角为斜面固定在水平地面上，有一不计厚度，长度为，质量为M木板恰好能静止在斜面上，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，木板下端距斜面底端为，下列操作中，弹簧始终在弹性限度之内，重力加速度为g。

（1）用水平力缓慢推m，使弹簧压缩到一定程度，然后释放，m恰能运动到圆轨道P处脱离轨道，且OP与竖直方向夹角为。求：（I）弹簧压缩最短时弹性势能（2）m通过圆轨道最高点Q时对轨道压力。

（2）再次用力缓慢推m压缩弹簧，释放后，m运动到Q点水平抛出，恰好能以速度沿平行于斜面方向落到木板顶端，当木板下端下滑到斜面底端时，m恰好滑至木板下端，且与木板速度相等。求：木板从开始运动到木板下端到达斜面底端过程中，系统损失的机械能。

Answer

（1） （2） （3）

【解析】试题分析：当m运动到P处，由牛顿第二定律求出P处的速度，再由能量守恒定律求出弹性势能；由能量守恒求出Q点的速度，由牛顿第二定律求出Q点的压力；由题意可知m相对M滑动过程中，m、M系统在斜面方向上动量守恒，动量守恒求出共同的速度，再由能量守恒求出系统损失的机械能。

（1）设m到达P处速度为，由牛顿第二定律：

设弹簧弹性势能为，由能量守恒定律有

联立解得

（2）设m到达Q处速度为，由能量守恒可知

在Q处，设轨道对m支持力为，由牛顿第二定律可得：

联立以上可得：

根据牛顿第三定律可得知m对轨道压力大小为：

（2）由题意可知m相对M滑动过程中，m、M系统在斜面方向上动量守恒，设M到达斜面底端速度为，由动量守恒可得：

从m滑上木板到木板到达斜面底端过程中，设系统损失机械能为Q，

由能量守恒可得：

联立解得：

点睛：本题主要考查了牛顿第二定律、能量守恒定律、动量守恒定律，过程较多，做题时一定要仔细分清过程，应用相关的知识解题，要求学生具有一定的分析计算能力。