Question

如图所示，以O为原点建立平面直角坐标系，沿轴放置一平面荧光屏，在，的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为。在原点O方一个开有小孔的粒子源，粒子源能同时放出比荷为的不同速率在正离子束，沿与轴成从小孔射入磁场，最后打在荧光屏上，使荧光屏发亮。入射正离子束的速率在0到最大值的范围内，不计离子之间的相互作用，也不计离子的重力。

（1）求离子从粒子源放出到打到荧光屏上所用的时间；

（2）求离子打到荧光屏上的范围；

（3）实际上，从O点射入的正离子束有一定的宽度，设正离子将在与轴成内进入磁场，则某时刻（设为时刻）在这一宽度内向各个方向射入各种速率的离子，经过时这些离子可能出现的区域面积。

Answer

（1）；

（2）；

（3）

【解析】

试题分析：（1）离子在磁场中的运动的周期为；由几何关系知，能够打在荧光屏上的离子从粒子源放出到打在荧光屏上转过的圆心角均为；故离子从粒子源放出到打在荧光屏所用时间；

（2）由得，，

离子在磁场中运动最大轨道半径： ，由几何关系知，最大速度的离子刚好沿磁场边缘打在荧光屏上，如左图所示，所以长度为：，即离子打到荧光屏上的范围为。

（3）由几何关系知，与轴成方向入射的离子，经过时间：时离子转过的圆心角为刚好打在y轴上，将时刻这些离子所在坐标连成曲线，方程就是：即都打在轴上，所以在时刻与轴成内进入磁场的正离子在时刻全部出现在以O为圆心的扇形范围内。如图：

则离子可能出现的区域面积：。

考点：带电粒子在匀强磁场中的运动；牛顿第二定律；向心力

【名师点睛】本题是带电粒子在有界的磁场中运动的问题，要充分运用数学知识画轨迹，确定轨迹的圆心角，运用参数方程求出离子的轨迹方程。