Question

为了研究过山车的原理，某兴趣小组提出了下列设想：取一个与水平方向夹角为37°、长为l=2.0m的粗糙倾斜轨道AB，通过水平轨道BC与半径为R=0.2m的竖直圆轨道相连，出口为水平轨道DE，整个轨道除 AB 段以外都是光滑的．其中AB 与BC 轨道以微小圆弧相接，如图所示．一个质量m=1kg小物块以初速度v₀=5.0m/s从A点沿倾斜轨道滑下，小物块到达C点时速度v_C=4.0m/s． 取g=10m/s²，sin37°=0.60，cos37°=0.80．

（1）求小物块到达C点时对圆轨道压力的大小；

（2）求小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功；

（3）为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足什么条件？

Answer

（1）90N；

（2）﹣16.5J；

（3）R≤0.32m

【解析】

试题分析：（1）小物块做圆周运动，根据牛顿第二定律可求得支持力大小，再由牛顿第三定律可求得小物块对轨道的压力大小；

（2）对AC过程由动能定理可求得摩擦力所做的功；

（3）根据临界条件以及牛顿第二定律可求得速度范围；再由机械能守恒定律可求得半径的范围．

【解析】
（1）设小物块到达C点时受到圆轨道的支持力大小为N，根据牛顿第二定律有，

解得：N=90N

根据牛顿第三定律得，小物块对圆轨道压力的大小为90N

（2）物块从A到C的过程中，根据动能定理有：

mglsin37°+Wf=mvc2﹣mvA2

解得Wf=﹣16.5J

（3）设物块进入圆轨道到达最高点时速度大小为v1，根据牛顿第二定律有：，

则

物块从圆轨道最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律有：

mvc2=mv2+2mgR

联立得，

解得R≤0.32m

答：（1）小物块到达C点时对圆轨道压力的大小为90N；

（2）小物块从A到B运动过程中摩擦力所做的功为﹣16.5J；

（3）为了使小物块不离开轨道，并从轨道DE滑出，求竖直圆弧轨道的半径应满足R≤0.32m．

【点评】本题考查动能定理以及向心力公式的应用，要注意明确对于不涉及时间的力学问题可以优先利用功能关系，如动能定理和机械能守恒定律进行分析求解；本题还要注意临界条件的应用，明确物体能越过最高点的条件．