Question

如图所示，在距水平地面高h1=1.2m的光滑水平台面上，一个质量m=1kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存的弹性势能Ep=2J．现打开锁扣K，物块与弹簧分离后将以一定的水平速度向右滑离平台，并恰好从B点沿切线方向进入光滑竖直的圆弧轨道BC．已知B点距水平地面的高h2=0.6m，圆弧轨道BC的圆心O，C点的切线水平，并与水平地面上长为L=2.8m的粗糙直轨道CD平滑连接，小物块沿轨道BCD运动并与右边的竖直墙壁会发生碰撞，重力加速度g=10m/s²，空气阻力忽略不计．试求：

（1）小物块运动到B的瞬时速度v_B大小及与水平方向夹角θ；

（2）小物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力Nc大小；

（3）若小物块与墙壁碰撞后速度反向、大小变为碰前的一半，且只会发生一次碰撞，那么小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足怎样的条件．

Answer

（1）4m/s， 60°

（2）33.3N

（3）

【解析】

试题分析：（1）小球做平抛运动，根据机械能守恒定律列式求解小物块运动到B的瞬时速度vB大小，运用运动的分解法求解速度与水平方向的夹角；

（2）先根据能量关系列式求解C点的速度，在C点，支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律、第三定律列式求解；

（3）分μ取得最大值和最小值讨论，根据能量守恒列出能量等式解决问题．要考虑物块可能的滑过的路程．

【解析】
（1）解法一：

小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，设初速度为v0．

由机械能守恒得

EP=mv，v0=2m/s

EP+mg（h1﹣h2）=mv，vB=4m/s（2分）

根据平抛运动规律有：cosθ===0.5，θ=60°

解法二：

小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，机械能守恒

EP=mv，v0=2m/s

小物块由A运动到B的过程中做平抛运动，在竖直方向上根据自由落体运动规律可知，

小物块由A运动到B的时间为：

t==s≈0.346s

根据平抛运动规律有：

tanθ=，解得：θ=60°

vB==4m/s

（2）根据图中几何关系可知，

h2=R（1﹣cos∠BOC），解得：R=1.2m

根据能的转化与守恒可知，

EP+mgh1=mv，vc=2m/s

对小球在圆弧轨道C点应用牛顿运动定律

Nc﹣mg=

得 Nc=10+=33.3N

（3）依据题意知，

①μ的最大值对应的是物块撞墙前瞬间的速度趋于零，根据能量关系有：

mgh1+Ep＞μmgL

代入数据解得：μ＜

②对于μ的最小值求解，首先应判断物块第一次碰墙后反弹，能否沿圆轨道滑离B点，设物块碰前在D处的速度为v2，由能量关系有：

mgh1+Ep=μmgL+mv22

第一次碰墙后返回至C处的动能为：EkC=mv22﹣μmgL

可知即使μ=0，有：mv22=14J，mv22=3.5J＜mgh2=6J，小物块不可能返滑至B点

故μ的最小值对应着物块撞后回到圆轨道最高某处，又下滑经C恰好至D点停止，因此有：

mv22≤2μmgL，联立解得：μ≥

综上可知满足题目条件的动摩擦因数μ值：≤μ＜

答：（1）小物块运动到B的瞬时速度vB大小是4m/s，方向与水平方向夹角θ为60°．

（2）小物块在圆弧轨道BC上滑到C时对轨道压力Nc大小是33.3N．

（3）小物块与轨道CD之间的动摩擦因数μ应该满足的条件为 ．

【点评】对于复杂的力学问题，应该先清楚研究对象的运动过程，根据运动性质利用物理规律解决问题；关于能量守恒的应用，要清楚物体运动过程中能量的转化．