Question

如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环，棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1），断开轻绳，棒和环自由下落，假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失，棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计，求：

（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；

（2）棒与地面第二次碰撞前的瞬时速度；

（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对棒和环做的功分别是多少？

Answer

（1）环的加速度是（k﹣1）g，方向竖直向上；

（2）；

（3）摩擦力对棒和环做的功分别是=﹣mgH和﹣．

【解析】【解析】
（1）设棒第一次反弹上升过程中，环的加速度为a1，由于k＞1，所以kmg＞mg

由牛顿第二定律得：kmg﹣mg=ma1

解得：a1=（k﹣1）g，方向竖直向上．

（2）在下落的过程中，棒、环系统机械能守恒，且下落过程中，棒、环之间无相对滑动，设棒第一次落地的速度大小为v1，由机械能守恒得：

×2﹣0=2mgH﹣0，解得：v1=

当棒触地反弹时，环将继续下落，棒、环之间存在相对滑动，设此时棒的加速度为a2．

由牛顿第二定律得：mg+kmg=ma2

解得：a2=（k+1）g，方向竖直向下，即棒减速上升

环与棒将在空中达到相同速度v，有：v=v1﹣a1t=﹣v1+a2t

解得：v=

设此时棒上升的高度为h1，有：v2﹣v12=﹣2a2h1

此后，棒和环一起下落，设与地面碰撞前瞬间速度为v2，有：

v22﹣v2=2gh1

解得：

（3）设摩擦力对棒和环做的功分别为W1和W2，整个过程中环与棒的相对位移为l

对棒有：mgH+W1=0

对环有：mg（H+l）+W2=0

对系统有：kmgl=mg（H+l）+mgH

解得：W1=﹣mgH，W2=

答：（1）棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度是（k﹣1）g，方向竖直向上；

（2）棒与地面第二次碰撞前的瞬时速度是；

（3）从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对棒和环做的功分别是=﹣mgH和﹣．

【点评】本题综合性较强，涉及多过程运动分析，难点在于分析棒和环的相对运动，进而得出位移，最后一个重要知识点是摩擦生热的计算，可对系统运用能量守恒定律研究．．