Question

如图所示，长度为L的细绳上端固定在天花板上O点，下端拴着质量为m的小球．当把细绳拉直时，细绳与竖直线的夹角为θ=60°，此时小球静止于光滑的水平面上．

（1）当球以角速度ω₁=做圆锥摆运动时，细绳的张力F_T为多大？水平面受到的压力F_N是多大？

（2）当球以角速度ω₂=做圆锥摆运动时，细绳的张力F_T′及水平面受到的压力F_N′各是多大？

Answer

（1）当球以ω1=做圆锥摆运动时，绳子张力FT为mg，桌面受到压力FN是．

（2）当球以角速度ω2=做圆锥摆运动时，绳子的张力为4mg，桌面受到的压力为零．

【解析】

试题分析：（1）当球做圆锥摆运动时，在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律，采用正交分解法列方程求解绳子的张力和支持力，再由牛顿第三定律求出桌面受到的压力．

（2）当小球对桌面恰好无压力时，由重力和绳子拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解此时小球的角速度．根据角速度ω2=与临界角速度的关系，判断小球是否离开桌面．若小球桌面做圆周运动，再由牛顿第二定律求解绳子的张力．

【解析】
（1）对小球受力分析，作出力图如图1．球在水平面内做匀速圆周运动，由重力、水平面的支持力和绳子拉力的合力提供向心力，则

根据牛顿第二定律，得

水平方向有：FTsin60°=mω12Lsin60°①

竖直方向有：FN′+FTcos60°﹣mg=0 ②

又ω1=

解得 FT=mg，FN′=

根据牛顿第三定律得知水平面受到的压力FN=FN′=．

（2）设小球对桌面恰好无压力时角速度为ω0，即FN′=0

代入①②解得，ω0=

由于ω2=＞ω0，故小球离开桌面做匀速圆周运动，则此时小球的受力如图2．设绳子与竖直方向的夹角为α，则有

mgtanθ=mω22•lsinα ③

mg=FT′cosα ④

联立解得 FT′=4mg

答：

（1）当球以ω1=做圆锥摆运动时，绳子张力FT为mg，桌面受到压力FN是．

（2）当球以角速度ω2=做圆锥摆运动时，绳子的张力为4mg，桌面受到的压力为零．

【点评】本题是圆锥摆问题，分析受力，确定向心力来源是关键，要注意分析隐含的临界状态，运用牛顿运动定律求解．