Question

如图所示，质量分别为m、2m的物体a、b通过轻绳和不计摩擦的定滑轮相连，均处于静止状态。与水平面上固定的劲度系数为k的轻质弹簧相连，Q点有一挡板，若有物体与其垂直相接会以原速率弹回，现剪断a、b之间的绳子，a开始上下往复运动，b下落至P点时以原速率水平向右运动，当b静止时，a恰好首次到达最低点，已知PQ长s₀，重力加速度为g，b距P点高h，且仅经过P点一次，b滑动时的动摩擦因数为，a、b均可看做质点，弹簧在弹性限度范围内，试求：

(l)物体a的最大速度；

(2)物体b停止的位置与P点的距离。

Answer

（1）；（2）若b未碰挡板就已经静止， ；若b碰挡板后弹回停在P的右侧， ；若b碰挡板后弹回停在P的左侧， 。

【解析】题目中条件“当b静止时，a恰好首次到达最低点”与本题问题无关。

试题分析：（1）a和弹簧构成的系统是指方向的弹簧振子，剪断绳子前，弹簧处于伸长状态，形变（伸长）量为，绳子对a沿绳向上的拉力大小等于b的重力，即。对a受力分析得：，解得形变量。

刚剪断绳子后，弹簧对a的弹力向下，a向下运动，弹力不断减小，根据牛顿第二定律知a的加速度不断减小；当弹簧恢复原长后，再向下运动，弹簧被压缩，弹力向上并不断增大，根据牛顿第二定律，可知a的加速度不断减小。综上可知，当a的加速度减小到零时，速度最大。此时弹簧处于压缩状态，形变（压缩）量为，有，解得形变量。

由上可知，剪断绳子时和a有最大速度时弹簧的形变量相等，即这两个状态弹性势能相等，此过程中a和弹簧组成的系统机械能守恒，重力势能减少，动能增加，弹性势能不变，故有，即，解得最大速度

（2）剪短绳子后，b做自由落体运动，落至水平地面后先向右做匀减速运动，碰挡板后以碰前速率弹回，继续做匀减速运动，设其在水平面上滑行的路成为s，根据动能定理：，解得。

①若b未碰挡板就已经静止，则b的位置与P点的距离；

②若b碰挡板后弹回停在P的右侧，则b的位置与P点的距离；

③若b碰挡板后弹回停在P的左侧，则b的位置与P点的距离。

考点：动能定理、机械能守恒定律的应用，胡克定律，牛顿运动定律的应用。