Question

有一等腰直角三角形区域，直角边长为2a．在该区域，有一垂直纸面向内磁感应强度为B的匀强磁场．一束质量为m、电荷量为q，速度范围在之间的带负电粒子从中点O垂直直角边射入该磁场区域，在另一直角边放置一块足够大的荧光屏，如图所示．重力不计，求
（1）速度至少为多大的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑．
（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系．
（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系．
（4）荧光屏上光斑的分布区域．

Answer

（1）根据带电粒子在磁场中运动规律求出半径，在荧光屏x=0处，对应的半径为，此时求出的速度为最小速度；
（2）根据半径分为三种情况进行讨论，利用圆心角与周期的关系求解；
（3）根据几何关系表示出位置与半径的关系，带入半径与速度的关系即可求解；
（4）在磁场区域内，根据几何关系求出相切位置对应的半径、最远坐标、速度，再求出最大速度对应的半径，求出圆心坐标，求出圆的方程与直线方程，求出交点坐标，进而求出过交点的切线方程，当y=0时．求出，最远处的光斑坐标，从而求出荧光屏上光斑的分布区域．
【解析】
（1）根据带电粒子在磁场中运动规律，可得

求出

在荧光屏x=0处，对应的半径为，粒子速度为

故小于v1 的带电粒子不能在荧光屏上留下痕迹．
（2）当半径满足0时，粒子运动时间为
当半径满足时，由图可得
cosα=，

求出：
t=                        
当半径大于a时，由图可知
cosα=
求出：，
所以t=
（3）如图，根据几何关系可知
x=
v=
这是一条抛物线
（4）在磁场区域内，为了求出荧光屏最远处亮点坐标．如图可得

求出相切位置对应的半径R=
对应的最远坐标为：

对应的速度

在磁场区域外，最远处的坐标可以参考图示求出．
先求出最大速度对应的半径

圆心坐标为（0，-4a）
圆方程为x2+（y+4a）2=（5a）2 
直线方程为 x+y=2a
解出圆与直线的交点：
（，）
过交点的切线方程为
y-（）=
当y=0时．求出，最远处的光斑坐标为

所以，光斑分布区域为
[0，]∪（2a，]．
答：（1）速度至少为的带电粒子，能够在荧光屏上留下光斑．
（2）粒子在磁场中运动的时间和速度的关系为当半径满足0时，粒子运动时间为，当半径满足时t=，当半径大于a时，t=．
（3）磁场区域内，荧光屏上亮点的位置和速度的关系为v=．
（4）荧光屏上光斑的分布区域为[0，]∪（2a，]．