Question

已知函数.

（1）讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；

（2）设x₀是f(x)的一个零点，证明曲线y=ln x 在点A(x₀，ln x₀)处的切线也是曲线的切线.

Answer

（1）函数在和上是单调增函数，证明见解析；

（2）证明见解析.

【解析】

（1）对函数求导，结合定义域，判断函数的单调性；

（2）先求出曲线在处的切线，然后求出当曲线切线的斜率与斜率相等时，证明曲线切线在纵轴上的截距与在纵轴的截距相等即可.

（1）函数的定义域为，

，因为函数的定义域为，所以，因此函数在和上是单调增函数；

当，时，，而，显然当，函数有零点，而函数在上单调递增，故当时，函数有唯一的零点；

当时，，

因为，所以函数在必有一零点，而函数在上是单调递增，故当时，函数有唯一的零点

综上所述，函数的定义域内有2个零点；

（2）因为是的一个零点，所以

，所以曲线在处的切线的斜率，故曲线在处的切线的方程为：而，所以的方程为，它在纵轴的截距为.

设曲线的切点为，过切点为切线，，所以在处的切线的斜率为，因此切线的方程为，

当切线的斜率等于直线的斜率时，即，

切线在纵轴的截距为，而，所以，直线的斜率相等，在纵轴上的截距也相等，因此直线重合，故曲线在处的切线也是曲线的切线.