Question

已知函数，直线．

（1）求函数的极值；

（2）试确定曲线与直线的交点个数，并说明理由．

Answer

（1）极小值，无极大值；（2）见解析.

【解析】

（1）求函数的导数，利用导数分析函数的单调性，进而可得函数的极值；

（2）令，利用参变量分离法得出，令，设，分析函数的单调性，从而确定在不同取值下两曲线交点的个数.

（1）函数定义域为，求导得，令，解得．

列表如下：

极小值

所以函数的单调增区间为，，单调减区间为，

所以函数有极小值，无极大值；

（2）“曲线与直线的交点个数”等价于“方程的根的个数”，由方程，得．

令，则，其中，且，

考查函数，其中，

因为，所以函数在上单调递增，且，

而方程中，且，

所以当时，方程无根；

当时，方程有且仅有一根，

综上所述，当时，曲线与直线没有交点；

当时，曲线与直线有且仅有一个交点．