Question

已知函数是定义域为的奇函数.

（1）求证：函数在上是增函数；

（2）不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）先由函数为奇函数，可得，再利用定义法证明函数的单调性即可；

（2）结合函数的性质可将问题转化为在上恒成立，再利用二次不等式恒成立问题求解即可.

【解析】
（1）∵函数是定义域为的奇函数，

，，

等式对于任意的均恒成立，得，

则，

即，

设为任意两个实数，且，

，

因为，则，

所以，即，

因此函数在上是增函数;

（2）由不等式对任意的恒成立，

则.由（1）知，函数在上是增函数，

则，即在上恒成立.令，，则在上恒成立.

①当时，即，可知，即，

所以；

②当时，即，可知.

即，所以；

③当时，即，可知，即，

所以，

综上，当时，不等式对任意的恒成立.