Question

已知对任意的实数，都有：，且当时，有．

（1）求；

（2）求证：在上为增函数；

（3）若，且关于的不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．

Answer

（1）1；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

(1)在已知恒等式中令可得;

(2)用增函数的定义可证;

(3)利用已知恒等式和求得,再将不等式化为后,利用单调性可化为在上恒成立,再利用二次函数的最值可解决.

（1）【解析】
令，则，解得．

（2）证明：设是上任意两个实数，且，则

则

所以，

由得，所以，

故，即，

所以在上为增函数．

（3）由已知条件有：，

故原不等式可化为：，

即，

因为,

所以,

因为,

所以,

故不等式可化为．

由（2）可知在上为增函数，所以，

即在上恒成立，

令，即成立即可，

（i）当即时，在上单调递增．

则解得，所以，

（ii）当，即时，有，

化简得:,即,

解得，

而，所以，

综上所述：实数的取值范围是．