Question

在以为圆心，6为半径的圆内有一点，点为圆上的任意一点，线段的垂直平分线和半径交于点.

（1）判断点的轨迹是什么曲线，并求其方程；

（2）记点的轨迹为曲线，过点的直线与曲线交于，两点，求的最大值；

（3）在圆上的任取一点，作曲线的两条切线，切点分别为、，试判断与是否垂直，并给出证明过程.

Answer

（1）点的轨迹是以、为焦点的椭圆. （2）（3）垂直.见解析

【解析】

(1)根据题意知，，所以点的轨迹是以、为焦点的椭圆，求出a、b、c即可写出椭圆的方程；(2)当直线斜率不存在时可求得，当直线斜率存在时设出直线方程与椭圆方程联立可表示出、，代入中即可求得的最大值；(3)当有一条切线斜率不存在时求出切线易证两切线垂直；当斜率存在时设出直线方程与椭圆方程联立得到关于x的一元二次方程，由直线与椭圆相切知即可求出，证明两条切线垂直.

【解析】
（1）由题知：， ，

∴点的轨迹是以、为焦点的椭圆.

由，得，又，∴，

∴椭圆的标准方程为.

（2）当直线斜率不存在时，直线方程为，则，，

∴.

当斜率存在时，设为，直线方程为，

与联立，消得，

则，

设，，，，

则

.

综上，的最大值为.

（3）垂直.证明如下：设点，则.

①当两切线中有一条切线斜率不存在时，即与轴垂直时，切线方程为，

即，得，∴另一条切线方程为，即与轴平行，∴两切线垂直.

②当斜率存在时，，设切线方程为，

联立，消得.

由于直线与椭圆相切，得

.

化简得.

∵，∴，即两条切线相互垂直.

综上，过点作的两条切线与垂直.