Question

如图（1），在直角梯形中，为的中点，四边形为正方形，将沿折起，使点到达点，如图（2），为的中点，且，点为线段上的一点.

（1）证明：；

（2）当与夹角最小时，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

(1)首先证明、从而建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，设 ，逐步求出向量、、、的坐标，由推出；(2)求出、的坐标，求出当 值最大时 的取值，从而求出平面与平面的法向量，最后求出两平面所成锐二面角的余弦值.

【解析】
由为正方形，得，，

∵为的中点，，

∴，即.

设，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，，.

（1）∵点在线段上，∴设，

又，∴，

又，∴，

又，∴，

又，∴，

∴，即.

（2）由（1）知，，

∴，

∴当时，最大，最小，此时.

由题知，平面的一个法向量为，

设平面的一个法向量，

∴，即，

取，得，则，

∴.

∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.