Question

已知椭圆的左、右焦点分别为，点P为直线l：上且不在x轴上的任意一点，直线和与椭圆的交点分别为A、B和C、D、O为坐标原点.

（1）求的周长；

（2）设直线的斜线分别为，证明：；

（3）问直线l上是否存在点P，使得直线OA、OB、OC、OD的斜率满足？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）存在，或

【解析】

（1）根据椭圆定义可知所求三角形周长为，结合椭圆方程可得到结果；

（2）由椭圆方程可知焦点坐标，设，利用两点连线斜率公式表示出，代入整理可得结论；

（3）假设存在点满足题意，假设直线：，与椭圆方程联立，利用韦达定理的表示出，同理可得，由可得到关于的方程；根据（2）中结论知，联立求得，进而得到两直线方程，两直线方程联立可求得满足题意的点坐标.

（1）由椭圆定义知：

的周长为：

（2）由题意得：，，设

，

（3）假设存在点，使得

设，，，

设直线：；直线：

联立得： ，

同理可得：

…①

由（2）知，…②

①②联立可解得：或

或 或

存在点或，使得