Question

已知动圆在圆：外部且与圆相切，同时还在圆：内部与圆相切．

（1）求动圆圆心的轨迹方程；

（2）记（1）中求出的轨迹为，与轴的两个交点分别为、，是上异于、的动点，又直线与轴交于点，直线、分别交直线于、两点，求证：为定值．

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】

（1）由直线与圆相切，则，则点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，即可求得椭圆方程；

（2）方法一：设，分别求得直线的方程，直线的方程，分别求得点和的坐标，则，即可求得为定值；
方法二：设直线的斜率为，直线的斜率为，联立直线的方程与直线的方程，求出点坐标，将点坐标代入椭圆方程，即可求得，为定值．

（1）设动圆的半径为，由已知得，，，

点的轨迹是以 ，为焦点的椭圆，

设椭圆方程：（），则，，则，

方程为：；

（2）解法一：设 ，由已知得， ，则，，

直线的方程为：，

直线的方程为：，

当时，，，

，

又满足，

，

为定值．

解法二：由已知得，，设直线的斜率为，直线的斜率为，由已知得，，存在且不为零，

直线的方程为：，

直线的方程为：，

当时，，，

,

联立直线和直线的方程，可得点坐标为，

将点坐标代入椭圆方程中,得，

即，

整理得 ，

，，

为定值．