Question

如图（1），等腰梯形，，，，，分别是的两个三等分点，若把等腰梯形沿虚线、折起，使得点和点重合，记为点， 如图（2）．

（1）求证：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

Answer

（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）推导出，，从而面，由此能证明平面平面；

（2）过点作于，过点作的平行线交于点，则面，以为原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．

（1）证明：四边形为等腰梯形，，，，，是 的两个三等分点，

四边形是正方形，，

，且，面，

又平面，平面平面；

（2）过点作于点，过点作的平行线交于点，则面，

以为坐标原点，以，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示：

则，，，，

,,,，

设平面的法向量，

则，取，得，

设平面的法向量，

则，∴，取，得：，

设平面与平面所成锐二面角为，

则．

平面与平面所成锐二面角的余弦值为．