Question

已知函数在处取得极值，若，则的最小值是（    ）

A. 15    B. -15    C. 10    D. -13

Answer

D

【解析】

令导函数当x＝2时为0，列出方程求出a值；求出二次函数f′（n）的最小值，利用导数求出f（m）的最小值，它们的和即为f（m）+f′（n）的最小值．

∵f′（x）＝﹣3x2+2ax

函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4在x＝2处取得极值

∴﹣12+4a＝0

解得a＝3

∴f′（x）＝﹣3x2+6x

又n∈[﹣1，1]时，f′（n）＝﹣3n2+6n为单增函数，

∴当n＝﹣1时，f′（n）最小，最小为﹣9

当m∈[﹣1，1]时，f（m）＝﹣m3+3m2﹣4

f′（m）＝﹣3m2+6m

令f′（m）＝0得m＝0，m＝2，∴f（m）在[﹣1，0]单减，在[0，1]单增，

所以m＝0时，f（m）最小为﹣4

故f（m）+f′（n）的最小值为﹣9+（﹣4）＝﹣13

故选：D．