Question

已知为椭圆：的右焦点，椭圆上任意一点 到点的距离与点到直线：

的距离之比为。

（1）求直线方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线交椭圆于、两点，直线、与直线分别相交于、两点，以为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

Answer

（1）；（2）和．

【解析】

试题（1）设为椭圆上任意一点，利用条件得到的方程，利用等式恒成立问题进行求解；（2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程，进而得到的坐标，利用对称性和平面向量的数量积为0研究其定点．

试题解析：（1）设为椭圆上任意一点，依题意有

∴ 。将代入，并整理得

由点为椭圆上任意一点知，方程对的均成立。∴ ，且解得。

∴ 直线的方程为

（2）易知直线斜率不为0，设方程为。

由，得。

设，，则，。

由，知方程为，点坐标为。

同理，点坐标为。

由对称性，若定点存在，则定点在轴上。设在以为直径的圆上。

则。

∴ 。

即，，或。

∴ 以为直径的圆恒过轴上两定点和