Question

如图，在锐角△ABC中，∠BAC≠60°，过点B、C分别作△ABC外接圆的切线BD、CE，且满足，直线DE与AB、AC的延长线分别交于点F、G、CF与BD交于点M，CE与BG交于点N.证明：.

Answer

见解析

【解析】

如图所示，设两条切线BD与CE交于点K，则BK=CK.

结合BD=CE，知.

作∠BAC的平分线AL与BC交于点L，联结LM、LN.

由，知

∠ABC=∠DFB，∠FDB＝∠DBC=∠BAC.

故.

再结合，BD=BC及内角平分线定理可得

.

因此，.

同理，.

由此推出

∠ALM=180°-∠BAL=180°-∠CAL=∠ALN.

由及内角平分线定理得：

.

故由AL=AL，∠ALM=∠ALN，LM=LN，得

.

从而，AM=AN.

证法2 由BD与EC均为△ABC外接圆的切线，知

∠DBC=∠BAC=∠ECB.

由BD=CE，得四边形BCED为等腰梯形.

从而，.

又∠BFD＝∠ABC，∠FDB=∠DBC=∠BAC，

故.

设△ABC的三条边长分别为.

由

.

由.

故由，得

. ①

在△ABM中，由∠ABM=∠ABC+∠BAC，及余弦定理得

. ②

用同样方法计算CN和时，只需在上述BM和的表达式①、②中将b、c交换.

而由式②知的表达式关于b、c对称，故

.