Question

已知一定点，及一定直线：，以动点为圆心的圆过点，且与直线相切．

(Ⅰ)求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ)设在直线上，直线，分别与曲线相切于，，为线段的中点．求证：，且直线恒过定点．

Answer

（1）动点的轨迹的方程为；（2）见解析.

【解析】

分析：（1）利用直接法，即可求动点的轨迹的方程；

（2）依题意可设，，，∴切线：，同理可得切线PB，故可得到，从而整理可得答案.

详【解析】
(1) ∵圆过点，且与直线相切，

∴点到点的距离等于点到直线的距离，

∴点的轨迹是以为焦点，以直线：为准线的一抛物线，

∴即，

∴动点的轨迹的方程为.

(2)依题意可设，，，

又，∴，∴，

∴切线的斜率，

∴切线：，即，

同理可得：切线的斜率，：，

又，∴且，

故方程即有两根，，∴，

∴，∴，

又为线段的中点，∴，

又由得：，

即，同理可得：，

故直线的方程为，故直线恒过定点．