Question

已知函数，其中.

（I）判断并证明函数的奇偶性；

（II）判断并证明函数在上的单调性；

（III）是否存在这样的负实数，使对一切恒成立，若存在，试求出取值的集合；若不存在，说明理由.

Answer

（1）见解析（2）见解析（3）

【解析】分析：（I）根据函数奇偶性的定义进行判断即可．
（II）根据函数单调性 定义进行判断．
（III）根据函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化，利用参数分离法进行求解即可．

详【解析】

（I）∵，

∴是奇函数.

（II）在上为减函数.

证明：任取且，

则

，

∵ ，

∴，

得，得到，

∴在上为减函数；

（III）∵ ，

∵在上为减函数，

∴对恒成立

由对恒成立得：

对恒成立，

令，

∵，∴，

∴，得，

由对恒成立得：

，由对恒成立得：，

即综上所得：，

所以存在这样的，其范围为.