Question

如图1所示，在等腰梯形中， .把沿折起，使得，得到四棱锥.如图2所示.

（1）求证：面面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）先由平面几何知识证明，可得面，从而得，进而可得，于是面，最后由面面垂直的判定定理可得结论；（2）以点为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出两半平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）证明：在等腰梯形中，可知.因为，可得.

又因为，即，则.

又，可得面，故.

又因为，则，

，则，

所以，

又，所以面，

又面，所以面面；

（2）

设，过点作交于点，

以点为原点，以所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

在中，∵， ，

∴，则，

∵，

∴，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

设平面的法向量为，

由，得，

取，可得平面的法向量为，

设平面的一个法向量为，

由，得，

取，可得平面的一个法向量为.

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.