Question

已知在长方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

（Ⅰ）求证：D₁E⊥A₁D；

（Ⅱ）在棱AB上是否存在点E使得AD₁与平面D₁EC成的角为？若存在，求出AE的长，若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：

（Ⅰ）要证，由正方形有，因此要证平面，而要证此线面垂直，只要证，这由长方体的性质可得；（Ⅱ）假设存在，以D为原点，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并设，用向量法求出AD1与平面D1EC成的角，从而求出，若能求出，说明存在，若不能求出，说明不存在．

试题解析：

（Ⅰ）证明：∵AE⊥平面AA1DD1，A1D⊂平面AA1DD1，

∴AE⊥A1D，

∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，

∴A1D⊥AD1，

∵AE∩AD1=A，∴A1D⊥平面AED1，

∵D1E⊂平面AED1，∴A1D⊥D1E．

（Ⅱ）【解析】
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，

设棱AB上存在点E（1，t，0），（0≤t≤2），使得AD1与平面D1EC成的角为，

A（1，0，0），D1（0，0，1），C（0，2，0），

=（﹣1，0，1），=（0，﹣2，1），=（1，t﹣2，0），

设平面D1EC的法向量为=（x，y，z），

则，取y=1，得=（t﹣1，1，2），

∴，

整理，得t2﹣10t+12=0，

解得或（舍），

∴在棱AB上存在点E使得AD1与平面D1EC成的角为，AE=．