Question

若存在不为零的常数，使得函数对定义域内的任一均有，则称函数为周期函数，其中常数就是函数的一个周期.   

（1）证明：若存在不为零的常数使得函数 对定义域内的任一均有，则此函数是周期函数.                   

（2）若定义在上的奇函数满足，试探究此函数在区间

内零点的最少个数.

Answer

(1)证明见解析；(2)4035.

【解析】试题分析：

（1）根据所给出的周期函数的定义证明即可，由题意可得 ，从而可得结论。（2）由条件可得函数的周期为2，故，又，故；根据题意得，故，从而可得 ，在此基础上可得函数零点的最少个数。

试题解析：

（1）证明：∵，

∴

即,

∴函数是周期函数，且是函数的一个周期.

（2）【解析】
∵，

由（1）可知函数是周期函数，且是函数的一个周期,

即，

又函数是上的奇函数，

∴。

∴ ……①

又，

∴，

∴ ……②

由①②有 .

又，

∴函数在区间内的零点最少有个。