Question

定义在R上的单调函数f(x)满足f(2)＝，且对任意x，y∈R，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．

(1)求证：f(x)为奇函数；

(2)若f(k·3^x)＋f(3^x－9^x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

(1)见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）首先令代入到恒等式可求出，再令得到，即命题成立；（2）根据题意得到函数为增函数，将单调性与奇偶性相结合原不等式等价于，令，将问题转化为含有参数的一元二次不等式问题，利用分类讨论得结果.

试题解析：(1)证明： ()，①，令，代入①式，得，即，令，代入①式，得，又，则有，即对任意恒成立，所以是奇函数．

(2) ，即，又在上是单调函数，所以在上是增函数．

又由(1)知是奇函数， ，所以对任意恒成立，令，问题等价于对任意恒成立，令，其对称轴.

当，即时， ，符合题意；当时，对任意， 恒成立解得，综上所述，当时， 对任意恒成立．