Question

已知椭圆的两个焦点是， ，且椭圆经过点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过椭圆的左焦点且斜率为1的直线与椭圆交于两点，求线段的长.

Answer

（1）；（2）.

【解析】试题分析：（1）椭圆的两个焦点是， ，可得 ，椭圆经过点可得 ，从而可得椭圆的标准方程；（2）直线的方程为，

代入方程并整理，得，利用韦达定理和弦长公式计算弦长.

试题解析：（1）由已知得，椭圆的焦点在轴上.

可设椭圆的方程为，

点是椭圆短轴的一个顶点，可得，

由题意可知，则有，

故椭圆的标准方程为.

（2）由已知得，直线的方程为，

代入方程并整理，得.

设，则，

则

.

【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以、韦达定理及弦长公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在轴上，还是在轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程或 ；③找关系：根据已知条件，建立关于、、的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.