Question

已知f（x）=a（x-lnx）+，a∈R.

（I）讨论f（x）的单调性；

（II）当a=1时，证明f（x）＞f’（x）+对于任意的x∈[1,2] 恒成立。

Answer

（I）见解析；（II）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出原函数的导函数，然后对a分类分析导函数的符号，由导函数的符号确定原函数的单调性；
（Ⅱ）令g（x）=x-lnx，h（x）=-1则f（x）-f′（x）=g（x）+h（x），利用导数分别求g（x）与h（x）的最小值得到f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=.

试题解析：

（I）【解析】
函数的定义域为（0，+00），f’（x）=a-

F’（x）=

若a≤0时，x∈（0,1）时，f’（x）＞0，则f（x）单调递增

x∈（1，+00）时，f’（x）＜0，则f（x）单调递减。

当a＞0时，f’（x）=（）（x-）

若0＜a＜2时，＞1，

当x∈（0,1）或x∈（，+00）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增

当x∈（1，）时，f’（x）＜0，f（x）单调递减。

若a=2时，=1，早x∈（0，+00）内，f’（x）≥0，f（x）单调递增；

若a＞2时，0＜＜1，

当x∈（0，）或x∈（1，+00）时，f’（x）＞0，f（x）单调递增

当x∈（，1）时，f‘（x）＜0，f（x）单调递减。

综上所述；当a≤0时，f（x）在（0,1）单调递增，f（x）在(1,+00)单调递减。

当0＜a＜2时，f（x）在（0,1）上单调递增；f（x）在（1，）单调递减

当a=2时，f（x）在（0，+00）单调递增；

若a＞2时，f（x）在（0，），（1，+00）单调递增；

f（x）在（，1）单调递减

（II）由（I）知，a=1时，f（x）-f’（x）=x-lnx+-（1-）

=x-lnx+-1，x∈[1,2]

令g（x）=x-lnx，h（x）=-1，x∈[1,2]，则f（x）-f’(x)=g（x）+h（x），

由g’（x）=≥0，可得g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取得等号，

又h’（x）=，设（x）=-3x2-2x+6，则（x）在x∈[1,2]单调递减，

因为（1）=1，（2）=-10，所以在[1,2]上存在x0，

使得x∈（1，x0）时，（x）＞0，x∈（x0，2）时，（x）＜0.

所以h（x）在（1，x0）上单调递增，在（x0，2）上单调递减；

由于h（1）=1，h（2）=，因此h（x）≥h（2）=，当且仅当x=2时取得等号

所以f（x）-f’（x）＞g（1）+h（2）=，

即f（x）＞f’（x）+对于任意的x∈[1,2]恒成立。