Question

已知：平行四边形ABCD中，∠DAB=45°，AB=AD=2，平面AED⊥平面ABCD，△AED为等边三角形，EF∥AB，EF=，M为线段BC的中点。

（I）求证：直线MF∥平面BED；

（II）求平面BED与平面FBC所成角的正弦值；

（III）求直线BF与平面BED所成角的正弦值。

Answer

（I）见解析；（II）；（III）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）取BD的中点G，连结MG，EG，通过证明四边形EFMG是平行四边形得出MF∥EG，从而有MF∥平面BED；
（Ⅱ）以O为原点建立空间坐标系，求出平面BED和平面FBC的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小；
（Ⅲ）通过计算法向量与的夹角得出直线BF与平面BED所成角．

试题解析：

（I）证明：在△ADB中，∵DAB=45° AB=AD=2，∴AD⊥BD

取AD中点O，AB中点N，连接ON，则ON∥BD，

∴AD⊥ON又∵平面AED⊥平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，AD⊥OE，

∴EO⊥平面ABCD，

∴以O为原点，OA，ON，OE分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如图取BD的中点H，连接FH，OH，则OH∥AB∥EF，且OH=EF，

∴FH∥EO，

∴FH⊥平面ABCD，

∴D（-1,0,0） B（-1,2,0） H（-1,1，） F（-1,1，） C（-3,2,0） M（-2,2,0），

∴=（0,2,0） =（1,0，） =（1，-1，），

设平面AED的一个法向量为（x，y，z），则∴

不妨设=（，0，-1）

∴⊥，

又∵MF平面AED

∴直线MF∥平面AED

（II）【解析】
∵=（-2,0,0），=（0，-1，）

设平面FBC的一个法向量为（x，y，z），则∴

不妨设=（0，，1）

设平面BED与平面FBC所成的角为

则丨cos丨=丨丨=，∴sin

∴平面BED与平面FBC所成角的正弦值为

（III）【解析】
直线BF与平面BED所成角为a，

则sina=丨cos<>丨=丨丨=。

∴直线BF与平面BDE所成角的正弦值为