Question

已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，c＝(－1，0)．

(1) 求向量b＋c的模的最大值；

(2) 若α＝，且a⊥(b＋c)，求cos β的值．

Answer

（1）2（2）见解析

【解析】试题分析（1）根据向量加法坐标表示以及向量模的坐标表示可得|b＋c|2＝2(1－cos β)，再根据三角函数有界性可得模的最值（2）由向量垂直可得数量积为零，根据向量数量积坐标表示可得关于β的方程，解得β值 ，即得cos β的值．

试题解析：【解析】
(1) b＋c＝(cos β－1，sin β)，则|b＋c|2＝(cos β－1)2＋sin2β＝2(1－cos β)．

∵ －1≤cos β≤1，

∴ 0≤|b＋c|2≤4，即0≤|b＋c|≤2.

当cos β＝－1时，|b＋c|取最大值2，

∴ 向量b＋c的模的最大值为2.

(2) ∵ b＋c＝(cos β－1，sin β)，

∴ a·(b＋c)＝cos αcos β－cos α＋sin αsin β

＝cos(α－β)－cos α.

∵ a⊥(b＋c)，

∴ a·(b＋c)＝0，即cos(α－β)＝cos α.

又α＝，∴ cos＝cos，β－＝2kπ± (k∈Z)，

∴ β＝2kπ＋或β＝2kπ，k∈Z，

∴ cos β＝0或cos β＝1.

点睛：(1)向量的坐标运算将向量与代数有机结合起来，这就为向量和函数的结合提供了前提，运用向量的有关知识可以解决某些函数问题.

(2)以向量为载体求相关变量的取值范围，是向量与函数、不等式、三角函数等相结合的一类综合问题.通过向量的坐标运算，将问题转化为解不等式或求函数值域，是解决这类问题的一般方法.