Question

如图，在梯形中， ， ， ，四边形为矩形，平面平面， ．

（1）求证： 平面；

（2）点在线段上运动，设平面与平面所成二面角的平面角为，试求的取值范围．

Answer

（1）详见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）根据条件证明，再由面面垂直的判定即可求解；（2）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可建立二面角余弦值的函数关系式，求得函数的值域即可求解．

试题解析：（1）在梯形中， ∵， ， ，∴，

∴，∴，∴，

∵平面平面，平面平面， 平面，

∴平面；（2）由（1）可建立分别以直线， ， 为轴， 轴， 轴，如图所示空间直角坐标系，令，则， ， ， ，

∴， ，设为平面的一个法向量，

由得，取，则，

∵是平面的一个法向量，

∴，

∵，∴当时，有最小值，

当时，有最大值，∴．

考点：1．线面，面面垂直的判定与性质；2．空间向量求解二面角．