Question

如图，在矩形中，已知，点、分别在、上，且，将四边形沿折起，使点在平面上的射影在直线上．

（I）求证： ；

（II）求点到平面的距离；

（III）求直线与平面所成的正弦值．

Answer

（1）见解析（2）2（3）

【解析】试题分析：

(1)由折叠关系可得平面， ．

(2)利于题意结合勾股定理列方程组，求解可得点到平面的距离为2；

(3)做出直线与平面所成的角，结合(1)(2)的结论可得直线与平面所成的正弦值为.

试题解析：

【解析】
（1）由于平面， ，又由于， ，

平面， ．

法一：（2）设， ，过作垂直于，

因线段， 在翻折过程中长度不变，根据勾股定理：

，可解得，

线段长度为，即点的平面的距离为．

（2）延长交于点，因为

点到平面的距离为点到平面距离的，

点平面的距离为，而，

直线与平面新角的正弦值为．

法二：（2）如图，过点作，过点作平面，分别以、、为、、轴建立空间直角坐标系，设点，由于，

解得于是，所以线段的长度为．

即点到平面的距离为．

（3）从而，故，

设平面的一个法向量为，设直线与平面所成角的大小为，

则