Question

如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯

形， ， , .且与均为正三角形, 为的中点，

为重心.

(1)求证： 平面；

(2)求异面直线与的夹角的余弦值.

Answer

(1)证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）连接交于，连接，由重心性质推导出，根据线面平行的判定定理可得平面；（2）取线段上一点，使得，可证 即是异面直线与的夹角，由余弦定理可得结果.

试题解析：（1）方法一：连交于,连接.

由梯形， 且，知

又为的中点， 为的重心，∴，在中， ,故// . 又平面, 平面,∴//平面.

方法二：过作交于,过作交于,连接,

为的重心， ,,

又为梯形， ,,

, ∴

又由所作， 得// ， 为平行四边形.

, 面

(2) 取线段上一点，使得，连,则,

, ,在中

，则异面直线与的夹角的余弦值为.

角函数和等差数列综合起来命题，也正体现了这种命题特点.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、异面直线所成的角、余弦定理，属于中挡题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.