Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是菱形，AC，BD相交于点O，EF∥AB，AB＝2EF，平面BCF⊥平面ABCD，BF＝CF，点G为BC的中点．求证：

(1) 直线OG∥平面EFCD；

(2) 直线AC⊥平面ODE.

Answer

证明：(1) 见解析: (2) 见解析.

【解析】试题分析：

(1)利用题意证得OG∥CD，结合线面平行的判断定理即可证得结论；

(2)结合空间几何体的性质和线面垂直的判断定理即可证得题中的结论.

试题解析：

证明：(1) ∵ 四边形ABCD是菱形，AC∩BD＝O，

∴ 点O是BD的中点．

∵ 点G为BC的中点，∴ OG∥CD.

∵ OG⊄平面EFCD，CD⊂平面EFCD，

∴ 直线OG∥平面EFCD.

(2) ∵ BF＝CF，点G为BC的中点，

∴ FG⊥BC.

∵ 平面BCF⊥平面ABCD，平面BCF∩平面ABCD＝BC，FG⊂平面BCF，FG⊥BC，

∴ FG⊥平面ABCD.

∵ AC⊂平面ABCD，∴ FG⊥AC.

∵ OG∥AB，OG＝AB，EF∥AB，EF＝AB，

∴ OG∥EF，OG＝EF，

∴ 四边形EFGO为平行四边形，

∴ FG∥EO.

∴ AC⊥EO.

∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥DO.

∵ EO∩DO＝O，EO，DO在平面ODE内，

∴ AC⊥平面ODE.