Question

设数列{a_n}的首项a₁＝1，前n项和S_n满足关系式：3tS_n－(2t＋3)S_n－1＝3t (t>0，n＝2,3,4，…)．

(1)求证：数列{a_n}是等比数列；

(2)设数列{a_n}的公比为f(t)，作数列{b_n}，使b₁＝1， (n＝2,3,4，…)．求数列{b_n}的通项b_n；

(3)求和：b₁b₂－b₂b₃＋b₃b₄－b₄b₅＋…＋b_2n－1b_2n－b_2n·b_2n＋1.

Answer

(1)证明见解析；(2) ；(3) .

【解析】试题分析：(1)由题意知，解得的值，即可得到数列的通项公式；

（2）由，即可利用裂项得到数列的前项和.

试题解析：

(1)证明

∵3tSn－(2t＋3)Sn－1＝3t， ①

∴3tSn－1－(2t＋3)Sn－2＝3t. (n＝2,3，…)． ②

①－②，得3tan－(2t＋3)an－1＝0.

∵a1＝S1＝1，S2＝1＋a2，∴a2＝ ∴an－1

∴＝，(n＝3，…)．

又＝

∴＝，(n＝2，3，…)．

∴数列{an}是一个首项为1，公比为的等比数列．

(2)解 由f(t)＝＝＋，

得bn＝f＝＋bn－1.

∴数列{bn}是一个首项为1，公差为的等差数列．

∴bn＝1＋ (n－1)＝.

(3)解 由bn＝，可知{b2n－1}和{b2n}是首项分别为1和，公差均为的等差数列．

于是b1b2－b2b3＋b3b4－b4b5＋…＋b2n－1b2n－b2nb2n＋1

＝b2(b1－b3)＋b4(b3－b5)＋b6(b5－b7)＋…＋b2n(b2n－1－b2n＋1)

＝－ (b2＋b4＋…＋b2n)＝－·n

＝－ (2n2＋3n)．