Question

已知直线（）.

（1）证明：直线过定点；

（2）若直线不经过第四象限，求的取值范围；

（3）若直线轴负半轴于，交轴正半轴于，△的面积为（为坐标原点），求的最小值，并求此时直线的方程.

Answer

（1）无论k取何值，直线过定点(－2，1)；（2）；（3）△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0.

【解析】【试题分析】（1）将直线方程变形为含参数的项与 不含参数的项，借助条件建立方程组，即可求出定点坐标；（2）借助（1）的结论，并数形结合建立关于的不等式组求解；（3）先求出两点的坐标，再建立△的面积关于斜率的函数，运用基本不等式求最小值，并借助函数取得最小值时的条件求出直线的方程：

(1)证明：由已知得: k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令   x＋2=0 且 1－y=0，得: x=-2 ， y=1

∴无论k取何值，直线过定点(－2，1)

（2）直线方程可化为，

当时，要使直线不经过第四象限，则，解得；

当时，直线为，符合题意.

综上：的取值范围是。

（3）令y＝0得：A点坐标为,令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，

∴S△AOB＝ |2k＋1|＝ (2k＋1)＝≥ (4＋4)＝4     

当且仅当4k＝，即k＝时取等号．

即△AOB的面积的最小值为4，此时直线l的方程为x－y＋1＋1＝0，

即 x－2y＋4＝0.

点睛：解答本题时的第一问时，将直线方程变形为含参数的项k(x＋2)与 不含参数的项(1－y)，借助条件建立方程组，从而求出定点坐标(－2，1)；求解第（2）问时，则充分借助（1）的结论，并数形结合建立关于的不等式组求出实数的取值范围；求解第（3）问时，先分别求出两点的坐标，再求出A点坐标为,令x＝0得：B点坐标为(0，2k＋1)(k>0)，建立△的面积关于斜率的函数，运用基本不等式求最小值，并借助函数取得最小值时的条件4k＝求出直线的斜率k＝，进而求出直线的方程。