Question

某地政府决定建造一批保障房供给社会，缓解贫困人口的住房问题，计划用1 600万元购得一块土地，在该土地上建造10幢楼房的住宅小区，每幢楼的楼层数相同，且每层建筑面积均为1 000平方米，每平方米的建筑费用与楼层有关，第x层楼房每平方米的建筑费用为(kx＋800)元(其中k为常数)．经测算，若每幢楼为5层，则该小区每平方米的平均综合费用为1 270元．

注：每平方米平均综合费用＝.

(1) 求k的值；

(2) 问要使该小区楼房每平方米的平均综合费用最低，应将这10幢楼房建成多少层？此时每平方米的平均综合费用为多少元？

Answer

（1）k＝50；（2）故该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元.

【解析】试题分析：（1）求出每幢楼为5层时的所有建筑面积，算出所有建筑费，直接由每平方米平均综合费用=购地费用+所有建筑费用/所有建筑面积，列式求出k的值；
（2）设小区每幢为n（n∈N*）层时，每平方米平均综合费用为f(n)，同样利用题目给出的每平方米平均综合费用的关系式列出f(n)的表达式，然后利用基本不等式求出f(n)的最小值，并求出层数．

试题解析：

(1) 如果每幢楼为5层，那么所有建筑面积为10×1 000×5平方米，所有建筑费用为[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10，

所以1 270＝{16 000 000＋[(k＋800)＋(2k＋800)＋(3k＋800)＋(4k＋800)＋(5k＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×5)，

解得k＝50.

(2) 设小区每幢为n(n∈N*)层时，每平方米平均综合费用为f(n)，由题设可知

f(n)＝{16 000 000＋[(50＋800)＋(100＋800)＋…＋(50n＋800)]×1 000×10}÷(10×1 000×n)＝＋25n＋825≥2＋825＝1 225，

当且仅当＝25n，即n＝8时，等号成立．

故该小区每幢建8层时，每平方米平均综合费用最低，此时每平方米平均综合费用为1 225元．