Question

函数y＝log_a(x＋3)－1(a＞0，a≠1)的图象恒过定点A.

(1) 求点A的坐标；

(2) 若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n都是正数，求的最小值．

Answer

（1）定点A的坐标是(－2，－1)；（2）8.

【解析】试题分析：（1）根据对数函数的性质可求出A的坐标，

（2）将出A的坐标代入直线方程可得m、n的关系，再利用1的代换结合均值不等式求解即可．

试题解析：

(1) ∵ 仅当x＝－2时，函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的函数值与a无关，且此时y＝－1，

∴ 定点A的坐标是(－2，－1)．

(2) 将点A(－2，－1)的坐标代入mx＋ny＋1＝0，

得(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，2m＋n＝1，

∵ m，n>0，∴＋＝ (2m＋n)＝4＋＋≥4＋2＝8.

等号当且仅当＝，即m＝，n＝时成立．

故当m＝，n＝时，＋取最小值为8.