Question

【2017广东佛山二模】已知椭圆： （）的焦距为4，左、右焦点分别为、，且与抛物线： 的交点所在的直线经过.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过的直线与交于， 两点，与抛物线无公共点，求的面积的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（1）先根据焦距确定焦点坐标，再根据对称性得与抛物线： 的交点所在的直线为,即得一个交点为，代入椭圆方程，结合可解得， ；（2）先设直线： ，由直线与抛物线无公共点，利用判别式小于零得.由弦长公式可求底边AB长，利用点到直线距离可得高，代入面积公式可得，根据对勾函数确定其值域.

试题解析：（Ⅰ）依题意得，则， .

所以椭圆与抛物线的一个交点为，

于是 ，从而.

又，解得

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）依题意，直线的斜率不为0，设直线： ，

由，消去整理得，由得.

由，消去整理得，

设， ，则， ，

所以 ，

到直线距离，

故 ，

令，则 ，

所以三边形的面积的取值范围为.