Question

【2017福建三明5月质检】已知直线与抛物线相切，且与轴的交点为，点.若动点与两定点所构成三角形的周长为6．

(Ⅰ) 求动点的轨迹的方程；

(Ⅱ) 设斜率为的直线交曲线于两点，当，且位于直线的两侧时，证明： .

Answer

(Ⅰ) （）;(Ⅱ)见解析.

【解析】

(Ⅰ) 因为直线与抛物线相切，所以方程有等根，

则，即，所以．

又因为动点与定点所构成的三角形周长为6,且，

所以

根据椭圆的定义，动点在以为焦点的椭圆上，且不在轴上，

所以，得，则，

即曲线的方程为（）.

(Ⅱ)设直线方程 ，联立 得，

△=-3+12>0，所以， 此时直线与曲线有两个交点, ，

设 ， ，则，

∵，不妨取，要证明恒成立，即证明，

即证，也就是要证

即证由韦达定理所得结论可得此式子显然成立，

所以成立.