Question

【2017重庆二诊】已知椭圆： 的左顶点为，右焦点为，过点且斜率为1的直线交椭圆于另一点，交轴于点， ．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点作直线与椭圆交于两点，连接（为坐标原点）并延长交椭圆于点，求面积的最大值及取最大值时直线的方程．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） 面积的最大值为3，此时直线的方程为

【解析】（Ⅰ）由已知，易知求得点， 的坐标，由，利用向量的坐标表示可求得点坐标，联立右焦点坐标及椭圆中关系式，代入椭圆方程进行运算即可；（Ⅱ）由椭圆对称性得， ，由题意，联立直线与椭圆的方程，求得的底边长，再由点到直线距离公式求得的高，从而建立所求三角形面积的函数，通过求面积函数的最大值，从而问题可得解.

试题解析：（Ⅰ）由题知，故，代入椭圆的方程得，又，

故，椭圆；

（Ⅱ）由题知，直线不与轴重合，故可设，由得，

设，则，由与关于原点对称知，

，

， ，即，当且仅当时等号成立，

面积的最大值为3，此时直线的方程为