Question

【2017福建4月质检】已知点，直线，直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）已知点，过且与轴不垂直的直线交于两点，直线分别交于点，求证：以为直径的圆必过定点.

Answer

（1）；（2）详见解析.

【解析】试题分析：

试题解析：

【解析】
（1）依题意得，即到直线的距离与到点的距离相等，

所以点的轨迹是以为焦点， 为准线的抛物线.

设抛物线方程为，则，即点的轨迹的方程是.

（2）

由题意可设直线，代入，得，

设，则；

又，设直线的斜率分别为，

则，

设，

令，得，

同理，得，

从而；

.

又以为直径的圆的方程为： ，

即，即，

令，解得或，

从而以为直径的圆恒过定点和.