Question

已知函数.

（1）当时，求函数在上的最大值；

（2）令，若在区间上为单调递增函数，求的取值范围；

（3）当时，函数的图象与轴交于两点，且，又是的导函数.若正常数满足条件.试比较与0的关系，并给出理由.

Answer

（1）-1；（2）；（3）见解析.

【解析】试题分析：（1）根据导数，即可得出函数的单调性，从而得到函数的最大值.

（2）由在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立，分离参数得出，即可求解实数的取值范围.

（3）由题意得有两个实根，化简可得，可得，只需证明

令，设即可得到．

试题解析：

（1）

函数在[,1]是增函数，在[1,2]是减函数，

所以．

（2）因为，所以，

因为在区间单调递增函数，所以在（0，3）恒成立

，有=，（）

综上：

（3）与0的关系为： 理由如下：

∵，又有两个实根，

∴，两式相减，得，

∴,

于是

．

．

要证： ，只需证：

只需证：．(*)

令，∴(*)化为 ，只证即可．

在（0，1）上单调递增，，

即．∴．

（其他解法根据情况酌情给分）

点睛：本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用函数的单调性求函数在闭区间上的最值，用分析法证明不等式，体现了转化的数学思想，试题有一定的难度，属于难题，此类问题解答的关键是认真梳理条件，合理转化，转化为利用导数研究函数的单调性与极值（最值），其中合理转化、构造新函数是解得难点.