Question

已知椭圆E的右焦点与抛物线的焦点重合，点M在椭圆E上.

（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；

（Ⅱ）设，直线与椭圆E交于A,B两点，若直线PA,PB关于x轴对称，求的值.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（1）求出抛物线的焦点，可得椭圆的焦点，即，再由椭圆的定义，结合两点的距离公式，可得，由的关系，可得，进而得到椭圆方程；
（2）由题意可得，设，运用两点的斜率公式和点在直线上，将直线代入椭圆方程，运用韦达定理，代入可得的方程，化简整理，解方程可得的值．

试题解析：

（Ⅰ） 因为抛物线的焦点坐标为,所以,

所以，

即.因为，

所以椭圆E的方程为.

（Ⅱ）设，

联立得，

所以， ①

因为直线PA, PB关于x轴对称，

所以，

即，

通分得，

所以

整理，得. ②

将①代入②，得 .