Question

如图，在三棱柱中，侧面底面， ，且点为中点.

（Ⅰ）证明： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）推导出，由此能证明平面．
（Ⅱ）以为原点, 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的大小．

试题解析：

（Ⅰ）证明:因为，且为的中点，所以，

又∵侧面底面,交线为,且平面，

∴平面.

（Ⅱ）以为原点, 所在直线分别为轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系.

由已知可得， ， ，

∴， ，

设平面的一个法向量为，则有

令，得，

∴.

∵

∴平面的一个法向量

∴

又二面角是锐角

∴所求二面角的余弦值为 .

（也可作出二面角的平面角，再计算）

点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.