Question

抛物线C:y²＝2px(p＞0)的准线为l，焦点为F．⊙M的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切．过原点O作倾斜角为的直线n交l于点A， 交⊙M于另一点B，且AO＝OB＝2．

(1)求⊙M和抛物线C的方程；

(2)若P为抛物线C上的动点，求的最小值；

(3)过l上的动点Q向⊙M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标．

Answer

(1)(x－2)2＋y2＝4。 (2)2.(3).

【解析】试题分析：（1）根据可求出的值，从而求出抛物线方程，求出圆心和半径可求出的方程；（2）先表示出然后根据点在抛物线上将消去，求关于的二次函数的最小值即可；（3）以点这圆心，为半径作，则线段即为与的公共弦，设点，根据，求出直线的方程，使直线与无关，可求出定点坐标.

试题解析：(1)因为＝OA·cos60°＝2×＝1，即p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x

设⊙M的半径为r，则r＝·＝2，所以⊙M的方程为(x－2)2＋y2＝4。

(2)设P(x，y)(x≥0)，则·＝(2－x，－y)(1－x，－y)＝x2－3x＋2＋y2＝x2＋x＋2，

所以当x＝0时，·有最小值为2.

(3)以点Q这圆心，QS为半径作⊙Q，则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦.

设点Q(－1，t)，则QS2＝QM2－4＝t2＋5，所以⊙Q的方程为(x＋1)2＋(y－t)2＝t2＋5，

从而直线QS的方程为3x－ty－2＝0(*)，

因为一定是方程(*)的解，所以直线QS恒过一个定点，且该定点坐标为(，0).